如圖1所示，當(dāng)車輛在彎道行駛時(shí)，在距離彎道一定距離之前，需要對(duì)車速進(jìn)行控制使車輛可以安全通過彎道（一般情況下進(jìn)行減速）。該問題的難點(diǎn)在于如何使車輛從當(dāng)前的車速在入彎時(shí)到達(dá)期望車速，既要保證入彎速度快，又要保證消耗能量少，同時(shí)較好地兼顧車輛行駛舒適性與安全性。彎道行駛時(shí)的安全速度規(guī)劃問題即從車輛當(dāng)前位置開始對(duì)速度開始進(jìn)行控制，直到車輛在入彎時(shí)達(dá)到期望的安全車速，同時(shí)保證車輛的橫向運(yùn)動(dòng)安全性與舒適性。

圖1 彎道行駛場(chǎng)景

對(duì)彎道中的速度規(guī)劃問題見文末延伸閱讀部分，本文就對(duì)車輛安全過彎中的速度規(guī)劃問題進(jìn)行深入探討。

一、安全車速

車輛安全車速直接關(guān)系著智能車的安全性與乘坐舒適性，因此，在速度規(guī)劃時(shí)必須將車輛安全車速作為一個(gè)約束條件進(jìn)行考慮，比如彎道行駛時(shí)需要根據(jù)道路曲率限制車輛速度，在車輛入彎之前就平穩(wěn)減速。安全車速研究的是速度與曲率的關(guān)系，通過引入橫向加速度和橫擺角速度建立安全車速模型，并出于對(duì)車輛穩(wěn)定性和乘坐舒適性等因素的考慮，對(duì)橫向加速度和橫擺角速度施加約束條件，如式（1）所示：

其中，分別為車輛最大橫向加速度和最大橫擺角速度；ky和為乘坐舒適性系數(shù)；μ為車輛橫向附著系數(shù)；κ為道路曲率，g = 9.8m/s2為重力加速度。為了保證車輛彎道行駛安全性，需要根據(jù)動(dòng)態(tài)變化的環(huán)境信息對(duì)車輛速度進(jìn)行限制，尤其是基于曲率的車輛自適應(yīng)動(dòng)態(tài)限速，根據(jù)式(1)可得：

由式（2）可知，入彎過程安全車速的計(jì)算前提是確定最大橫向加速度，根據(jù)考慮的因素不同，目前主要有表1所示的六種安全車速模型。

雷諾

1.1.考慮摩擦圓的最大加速度

許多方法考慮車輛穩(wěn)定性和乘坐舒適性，基于摩擦圓的性質(zhì)將最大橫向加速度表示為。圖2描述了輪胎力摩擦圓，在橫向側(cè)偏角和縱向滑移力的共同作用下產(chǎn)生的總輪胎力需小于μFz。圖2中不同圓弧表示不同的橫縱向輪胎力組合，對(duì)應(yīng)不同側(cè)偏角和滑移率水平。對(duì)于同一縱向滑移率，縱向力Fx隨側(cè)偏角的增加而減小，反之亦然?？v向滑移率sx由0.01增加到0.61時(shí)，F(xiàn)x逐漸變大至飽和，達(dá)到道路附著極限，此時(shí)的圓弧即為摩擦圓，由橫縱向力構(gòu)成的圓弧需分布在摩擦圓內(nèi)以保證車輛穩(wěn)定性。

圖2 輪胎力摩擦圓

1.2.基于駕駛特征提取的最大橫向加速度

Malcolm的研究表明：人類駕駛員不只按摩擦極限的標(biāo)準(zhǔn)確定安全車速，在車速超過20 km/h時(shí)，駕駛員往往會(huì)預(yù)估高速行駛帶來的危險(xiǎn)，可接受的橫向加速度并非恒定，而是與速度呈反比?；谠摻Y(jié)論，Reymond提出橫向加速度裕度模型ay = k1-k2v2，系數(shù)k1、k2根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。類似的，還有根據(jù)不同駕駛場(chǎng)景下的真實(shí)行駛數(shù)據(jù)擬合出的Levison安全模型模型、考慮人類運(yùn)動(dòng)通用特征的擬人式駕駛員模型，系數(shù)k3、k4、k5均由實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)擬合得到。Bosetti等考慮低速時(shí)橫向加速度飽和的情況，對(duì)Levison模型加以修正，如表1所示。

以上安全速度模型僅保證當(dāng)前位置的安全性，當(dāng)未來道路曲率增長(zhǎng)較快時(shí)，存在難以按期望減速度將速度減至期望速度的情況，此時(shí)當(dāng)前位置的車速是不合理的，故安全車速模型不能只考慮當(dāng)前位置的安全性，還需考慮未來減速過程中的安全性，因此基于經(jīng)驗(yàn)公式建立考慮橫縱向加速度協(xié)調(diào)關(guān)系的安全車速模型

式中不同C值代表不同駕駛行為，|C| 越大，縱向加速度ax越大，駕駛行為越激進(jìn)，故定義C為激進(jìn)因子。針對(duì)任意道路曲率已知的彎道，考慮經(jīng)驗(yàn)駕駛行為的縱向速度僅取決于C值，故為滿足摩擦圓的限制，C的可行域Ω需滿足式（3），其上下界分別對(duì)應(yīng)縱橫向最大加速度，如圖3所示：

圖3 不同激進(jìn)因子C下橫縱向加速及摩擦圓

設(shè)車輛安全車車速為Vlim，其需要滿足：

其中，Vmax為滿足交通規(guī)則限制的最大車速，,C為根據(jù)實(shí)車駕駛行為標(biāo)定的參數(shù)。

二、G-planning多項(xiàng)式速度規(guī)劃方法

定義考慮式（3）安全車速的多項(xiàng)式速度規(guī)劃方法為G-planning方法，其中，為保證沖擊度連續(xù)性和求解效率，采用三次多項(xiàng)式建立速度模型，如下式所示：

其中，s、v分別表示速度規(guī)劃過程中的規(guī)劃里程和縱向車速。通過計(jì)算速度對(duì)時(shí)間的一階導(dǎo)、二階導(dǎo)，分別得到縱向加速度和沖擊度的表達(dá)式：

其中，上角標(biāo)表示對(duì)里程求導(dǎo)。

車輛舒適、平穩(wěn)且安全過彎問題可構(gòu)建為考慮滑行行為、通行時(shí)間和安全車速的多目標(biāo)優(yōu)化問題，滿足車輛在速度規(guī)劃起點(diǎn)和終點(diǎn)處的狀態(tài)約束：

及舒適性約束：

根據(jù)規(guī)劃起點(diǎn)和終點(diǎn)的邊界條件，可求得安全過彎的參考速度模型為：

由于考慮了經(jīng)驗(yàn)駕駛行為、摩擦圓約束、高階非線性舒適性約束、具有不確定性的駕駛特征約束等約束條件，導(dǎo)致度規(guī)劃問題求解非常復(fù)雜。因此，為了兼顧求解效率和全局最優(yōu)，提出一種基于混沌優(yōu)化的實(shí)時(shí)求解算法。求解后的最佳規(guī)劃距離如圖4所示，不同參數(shù)值反應(yīng)了不同水平的舒適性和效率性，進(jìn)而決定不同的規(guī)劃距離。圖5繪制了不同初速度下的橫縱向加速度曲線，可見滿足摩擦圓約束。

圖4 不同參數(shù)下的最佳規(guī)劃距離

圖5 不同初速度下橫縱向加速度對(duì)比

圖6繪制了規(guī)劃時(shí)間與縱向最大加速度曲線，由此可得：G-Planning方法在低入彎速度時(shí)，雖然最大縱向加速度更大，但其值仍然很小，此時(shí)兩種方法的舒適性均較好。在中初速度時(shí)最大減速度更小、舒適性更好。高速入彎時(shí)，在保證舒適性的前提下，規(guī)劃時(shí)間大幅縮短，通行效率顯著提高。G-Planning方法的規(guī)劃結(jié)果體現(xiàn)了有經(jīng)驗(yàn)的駕駛員低初速度時(shí)采用滑行方式入彎、高初速度時(shí)不以犧牲通行效率來追求絕對(duì)舒適性的駕駛習(xí)慣，更好地平衡了乘坐舒適性與通行效率。

圖6 規(guī)劃時(shí)間與縱向最大加速度對(duì)比

三、基于多項(xiàng)式的進(jìn)出彎速度快速規(guī)劃方法

針對(duì)如圖1所示的彎道行駛場(chǎng)景，假設(shè)車輛依次通過了兩個(gè)彎道1和2，并假設(shè)車輛行駛的縱向速度與行駛里程之間的關(guān)系如圖7所示，減速通過彎道后又加速至目標(biāo)車速，可將該復(fù)雜的彎道駕駛行為描述為一個(gè)安全車速優(yōu)化求解問題。

圖7  安全車速求解問題描述

定義車輛縱向運(yùn)動(dòng)為三階動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)：

其中，分別為車輛縱向行駛里程、車速、加速度和沖擊度。

車輛平穩(wěn)與安全過彎問題即求解如下優(yōu)化問題以尋找最優(yōu)的沖擊度輸入和行駛時(shí)間：

同時(shí)，滿足邊界約束：

以及安全速度約束：

其中，多目標(biāo)優(yōu)化問題(10)中包含兩個(gè)優(yōu)化目標(biāo)：快速通行即行駛時(shí)間T最短，平穩(wěn)過彎即舒適性（或沖擊度）最小，wT表示兩個(gè)目標(biāo)間的權(quán)重系數(shù)。則車輛過彎的安全車速規(guī)劃問題可描述為如下優(yōu)化問題：

考慮到該問題的復(fù)雜性，同時(shí)規(guī)劃減速入彎與加速出彎兩個(gè)過程中的安全車速難度較大，因此，將這兩個(gè)階段的規(guī)劃問題獨(dú)立成兩個(gè)子問題依次求解。

3.1 減速入彎過程

減速入彎過程實(shí)質(zhì)上就是點(diǎn)到點(diǎn)的速度規(guī)劃問題，比如圖7中的A-C或者A-B，該局部?jī)?yōu)化問題相對(duì)全局規(guī)劃問題(13)更容易求解。由于C點(diǎn)處的曲率更大，其安全車速更低，故以A-C作為研究對(duì)象。則在C點(diǎn)處的邊界條件為：

其中，到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間TC未知，C點(diǎn)處的安全車速為Vc。

根據(jù)起點(diǎn)A和急彎C點(diǎn)處的邊界條件，假設(shè)車輛行駛里程可用5次多項(xiàng)式來描述，即

則求導(dǎo)可得速度、加速度和沖擊度為

其中，系數(shù)ci可由邊界條件求得，即

車輛需滿足舒適性、安全性約束條件

其中，分別為車輛安全極限車速、最大加速度及最大沖擊度。化簡(jiǎn)可得TC的取值范圍為，在該可行域內(nèi)的規(guī)劃模型(13)等價(jià)于

顯然，該規(guī)劃模型(19)是一個(gè)帶約束的單變量非線性優(yōu)化模型，其優(yōu)化變量是，根據(jù)KKT原理，其最優(yōu)解將出現(xiàn)在極值點(diǎn)或邊界點(diǎn)處。假設(shè)極值點(diǎn)為TC0，則通過比較極值點(diǎn)和邊界點(diǎn)的代價(jià)函數(shù)值大小即可實(shí)現(xiàn)該規(guī)劃模型的求解。考慮其極值點(diǎn)滿足條件

求導(dǎo)后可得

則通過求最小的代價(jià)函數(shù)值

即可求得最優(yōu)的到達(dá)時(shí)間，進(jìn)而規(guī)劃出最優(yōu)的入彎速度。

3.2 加速出彎過程

加速出彎過程實(shí)質(zhì)上是自由加速問題，圖7中C-D過程中的局部?jī)?yōu)化問題相對(duì)全局規(guī)劃問題(13)也將更容易求解。以C-D過程作為研究對(duì)象，起點(diǎn)C點(diǎn)的時(shí)間記為0，在C和D點(diǎn)處的邊界條件為：

其中，由C點(diǎn)出發(fā)到達(dá)D點(diǎn)的時(shí)間TD未知，則整個(gè)平穩(wěn)過彎過程的時(shí)間為T=TC+TD。

與入彎過程相類似，假設(shè)車輛行駛里程可用5次多項(xiàng)式來描述，即

其中，系數(shù)ci可由邊界條件求得，即

性能約束條件與(18)相同，將其化簡(jiǎn)后得：

加速出彎過程的規(guī)劃模型(13)等價(jià)于

其極值點(diǎn)滿足條件

可得極值點(diǎn)為

根據(jù)導(dǎo)數(shù)函數(shù)(28)的特點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，最優(yōu)的到達(dá)時(shí)間為；當(dāng)時(shí)，則最優(yōu)的到達(dá)時(shí)間為，進(jìn)而規(guī)劃出最優(yōu)的出彎速度。

綜上，通過求解最優(yōu)的到達(dá)時(shí)間和，進(jìn)而規(guī)劃出整個(gè)平穩(wěn)過彎過程的速度，則過彎時(shí)間即由A到D的總行駛時(shí)間為。